Abstract:
Neste trabalho analisamos o problema de identificação do coeficiente de rigidez, em vigas modeladas pela equação de Euler-Bernoulli estática, a partir de medidas indiretas da deflexão da viga. Apresentamos o problema na forma de uma equação de operadores (parâmetros para solução provando, em topologias apropriadas, propriedades importantes como continuidade e compacidade. A compacidade do operador implica, em particular, que o problema inverso e mal-posto no sentido de Hadamard, ou seja, o problema de identificação do coeficiente e instável com relação aos erros nas medidas. Provamos a unicidade para o coeficiente de rigidez utilizando hipóteses mínimas com relação a sua suavidade. Ainda, apresentamos o método de molificação e o método iterativo de Landweber para obtermos soluções aproximadas estáveis. Como o operador parâmetro para solução é não linear, provamos que este operador é Fréchet diferenciável e que satisfaz a condição de cone tangente. Estes resultados e uma estratégia de parada dada pelo princípio de discrepância são o suficiente para garantir que a iteração de Landweber é estável e convergente (com relação aos ruídos nas medidas). Por fim, apresentamos alguns exemplos numéricos mostrando os efeitos de estabilidade e convergência das soluções aproximadas.
In this work, we analyze the nonlinear inverse problem of flexural rigidity coefficient identification in the static Euler-Bernoulli equation, from indirect beam deflection measurements. We introduce the problem in the form of an operator equation (parameters-to-solution map) that we call the forward operator. We prove, in an appropriate topology, continuity and compactness for the forward operator. In particular, operator's compactness implies that the coefficient identication inverse problem is ill-posed in the sense of Hadamard. In other words, the rigidity coefficient identification problem is unstable with respect to errors in measurements. Furthermore, we prove the uniqueness for the flexural rigidity coefficient identication using least smoothness assumptions. We also propose the use of the mollication technique and the Landweber iterative method to obtain a stable approximate solutions. In order to prove convergence and stability (with respect to the errors in the measurements) for the Landweber iteration, we use a stopping rule given by discrepancy principle and prove Frechet dierentiabilityand the tangential cone condition for the forward operator. Finally, we illustrate thetheoretical achievements with some numerical examples.
