As contribuições de Arquimedes para o cálculo de áreas

Abstract

Arquimedes de Siracusa foi, sem dúvida, o maior matemático da antiguidade e é considerado um dos maiores de todos os tempos, ao lado de Isaac Newton, Johann Carl Friedrich Gauss e Leonhard Paul Euler. Como cientista, ele é comparado apenas a Sir. Isaac Newton, em virtude de suas descobertas. Arquimedes trabalhou como Matemático, Físico, Astrônomo e Engenheiro Militar. Seus vastos trabalhos varrem diversas áreas da ciência. Sabemos que a necessidade de resolver problemas diários, relacionados ao cálculo de áreas, remete ao Egito antigo, quando os agricultores tinham de dividir as terras não inundadas pelas cheias do rio Nilo, bem como, demarcar as divisas. No entanto, a complexidade, o rigor e a profundidade dos cálculos necessários no Egito antigo não se comparam aos propostos e resolvidos por Arquimedes. Neste trabalho, exploraremos as contribuições de Arquimedes ao cálculo de áreas e, em particular, ao cálculo integral moderno. Em particular, utilizar-nos-emos os métodos das alavancas e da exaustão, ambos propostos por Arquimedes, para resolver o problema da quadratura da parábola. Faremos uma comparação do trabalho de Arquimedes com contribuições de alguns matemáticos importantes, como Pascal, Fermat e Riemann, que, somente séculos depois e com o desenvolvimento de uma matemática muito mais moderna que a conhecida por Arquimedes, obtiveram resultados similares. Nós utilizaremos das ferramentas do cálculo integral moderno e de softwares livres para obter estimativas de erros para os cálculos feitos por Arquimedes no problema de quadratura da parábola. Por fim, exploraremos a aplicação dos conceitos e das técnicas, utilizadas neste trabalho, no ambiente escolar.

Archimedes of Syracuse was, without doubt, the greatest mathematician of antiquity and he is considered beside greatest of all time, one of the Isaac Newton, Johann Carl Friedrich Gauss and Leonhard Paul Euler. As a scientist, he is compared to Sir. Isaac Newton, by virtue of their findings. Archimedes worked as a mathematician, physicist, astronomer and engineer. His vast work cover many areas of science. We know that the necessity to solve daily problems related to the calculation of areas, dates back to ancient Egypt, at that time, farmers had to divide the lands that were not inundated by the floods of the Nile, as well as delimit the boundaries. However, complexity, accuracy and depth of the necessary calculations in ancient Egypt do not compare some proposed and solved by Archimedes. In this work, we explore the contributions of Archimedes to the calculation of areas and, in particular, to the modern integral calculus. We will use the methods of the levers and exhaust, both proposed by Archimedes, to solve the problem of the parabola quadrature problem. We will compare the work of Archimedes with contributions from some leading mathematicians like Pascal, Fermat and Riemann, who only centuries later and with the development of a more modern mathematics as Archimedes, obtained similar results. Moreover, we will use the modern integral calculus and free software tools to obtain error estimates for the Archimedes calculation in the parabola quadrature problem. Finally, we will explore the application of concepts and techniques, used in this work, in the school environment.