Modelagem do ritmo circadiano com derivadas fracionárias

Abstract

O ritmo circadiano é responsável por diversas atividades fundamentais do organismo dos seres vivos, como produção de hormônios, atividades do sistema digestivo, a sensaçãode fome, de sono, etc., que funcionam de forma sincrônica. Sendo assim, é de suma importância entender os mecanismos que regem o ritmo circadiano, bem como efeitos externos que possam degradar ou acelerar processo de sincronização do ritmo circadiano.O foco do nosso trabalho é caracterizar algumas propriedades do ritmo circadiano, levando em consideração o ciclo sono-vigília e o ciclo de temperatura corporal, bem como outros efeitos externos que possam influenciar a dinâmica do ritmo circadiano. Diferentemente do que existe na literatura, onde a modelagem da dinâmica do ciclo sono-vigília em relação a temperatura corporal é feita usando derivadas de ordem inteira, neste trabalho propomos reescrever este modelo usando cálculo de ordem fracionário. Como tal ferramenta possui propriedades que podem ser interpretadas como memória, prevemos obter um modelo que seja fidedigno a realidade, e sirva como um guia para determinar mecanismos que minimizem as alterações indesejadas causadas por interferência externas. Do ponto de vista teórico, provaremos resultados de boa colocação do modelo proposto. Apresentaremos alguns resultados numéricos que mostram o comportamento do efeito memória na dinâmica em comparação com o modelo conhecido na literatura.

The circadian rhythm is responsible for several fundamental activities of the organism of living being such as the production of hormones, activities of the digestive system, the sensation of hunger, sleep, among other. Such actions works synchronously. Therefore, it is extremely important to understand the mechanisms that govern the circadian rhythm as well as external effect s that may degrade or accelerate the synchronization process of such rhythm. The focus of our work is to characterize some properties of the circadian rhythm, taking into account the sleep-wake cycle and the body temperature cycle, as well as other external effects that may influence circadian rhythm dynamics. Differently from what exists in the literature, where the modelling of the dynamics of the sleep-wake cycle in relation to body t emperature is done using integer-order derivatives, in this work wepropose to rewrite this model using a fractional order calculus. Since such a tool have properties that can be interpreted as memory, we expect to obtain a model that is reliable to reality and can be used as a guide to determine mechanisms that minimize unwanted changes caused by external interference. From the theoretical point of view, we will provewell-posedness results of the proposed model. We also provide some numerical resultsthat show the behavior of the memory effect in the dynamics in comparison to the modelknown in the literature.