Modelo Compartimental SIRC Fracionário

Abstract

Intrinsecamente, o sistema imunológico possui uma defesa adaptativa contra ataques de doenças infecciosas. Essa defesa, que pode ser adquirida pelo contato direto com a doença ou pela aplicação de vacinas, é conhecida por memória imunológica. O entendimento da evolução das doenças, bem como da resposta imunológica dada por vacinas, são de inestimável importância para a tomada de decisões em políticas públicas. Uma maneira de entender o comportamento das doenças é modelar a dinâmica de sua evolução. Uma das possíveis formas de modelagem consiste na utilização de modelos comportamentais, os quais servem como uma simplicação do comportamento do organismo biológico, através da acoplagem da dinâmica em um sistema de equações diferenciais ordinárias. Nesta proposta estudamos especialmente o modelo compartimental SIRC, que relaciona os indivíduos divididos em compartimentos: suscetíveis (S), infectados (I), recuperados (R) e imunidade cruzada (C) com o diferencial de que utilizaremos o enlace da teoria do calculo fracionário, com o objetivo de aplicar as propriedades dos operadores diferenciais fracionários, os quais introduzem, de forma natural, processos de memória ao sistema dinâmico. Outra contribuição importante deste trabalho é a inserção de vacina (antígeno) ao modelo SIRC. Focamos nos efeitos do antígeno na dinâmica do compartimento imunidade cruzada e na dinâmica do sistema evolutivo, trazendo uma inovação para a atual proposta, já que, desconhecemos resultados na literatura nesse sentido. Mais especificamente, nossa contribuição neste trabalho consiste em provarmos resultados de boa colocação do modelo SIRC e com a introdução da vacinação considerando a dinâmica governada por derivadas fracionárias segundo Caputo. A este modelo chamamos de modelo SIRC Fracionário. Estendemos os resultados de boa colocação para o caso em que cada linha do sistema tenha uma derivada de ordem fracionária diferente, refletindo efeitos distintos de memória. Além disso, estabeleceremos resultados de estabilidade para os modelos estudados, demonstrando em que condições sobre os parâmetros no modelo as soluções são assintoticamente estáveis. Por fim, utilizaremos de métodos numéricos adequados para discutirmos os resultados para ordens de derivada fracionária em comparação com o modelo de ordem inteira, demonstrando que a introdução das derivadas de ordem fracionária apresenta um retardo na dinâmica do sistema, o qual pode ser interpretado como memória epidemiológica. Finalmente, exibiremos o efeito que a imposição da vacinação causa na dinâmica do sistema, mostrando os resultados que essa nova abordagem pode revelar.

Intrinsically, the immunological system has an adaptive defense against attacks of infectious diseases. This defense, which can be acquired by direct contact with the disease or by the application of vaccines, is known as immunological memory. Understanding the evolution of diseases, as well as the immunological response given by vaccines, is of invaluable importance for decisions in public policies. One way to understand diseases behaviors to model the dynamics of its evolution. One of the possible forms of modeling is the use of compartmental models, which serve as a simplification of the behavior of a biological organism, by coupling the dynamics through a system of ordinary differential equations. In this proposal we study the compartmental SIRC model, which relates the individuals divided into compartments: susceptible (S), infected (I), recovered (R) and cross-immune (C) with the differential of which we will use the link of the theory of fractional calculus in order to apply the properties of the fractional differential operators, which naturally introduce memory processes to the dynamic system. Another important contribution of this work is the insertion of vaccine (antigen) to the SIRC model. We focus on the effects of the antigen on the dynamics of the cross-immune compartment and on the dynamics of the evolutionary system, bringing an innovation to this work, since we do not know results in the literature in this sense. More specically, our contribution in this work consists of proving good placement results of the SIRC model and with the introduction of vaccination considering the dynamics governed by fractional derivatives according to Caputo. This model is called the Fractional SIRC model. We extend the good placement results to the case where each line of the system has a derivative of a different fractional order, reflecting distinct memory effects. Besides that, we will establish stability results for the studied models, demonstrating in what conditions on the parameters in the model the solutions are asymptotically stable. Finally, we will use appropriate numerical methods to discuss the results for fractional order derivatives in comparison with the integer order model, demonstrating that the introduction of fractional order derivatives presents a delay in the system dynamics, which can be interpreted as memory epidemiological study. Finally, we will show the effect that the imposition of vaccination causes on the dynamics of the system, showing the results that this new approach can reveal.