Formulação lagrangiana para sistemas dissipativos através do cálculo fracionário

Abstract

Neste trabalho, generalizamos o Princípio da Mínima Ação proposto por Riewe para sistemas não conservativos, contendo forças dissipativas lineares dependentes de derivadas temporais de qualquer ordem. A Ação generalizada é construída a partir de funções Lagrangianas dependentes de derivadas de ordem inteira e fracionária. Diferente de outras formulações, o uso de derivadas fracionárias permite a construção de Lagrangianas físicas para sistemas não conservativos. Uma Lagrangiana é dita física se fornece relações fisicamente consistentes para o momentum e o Hamiltoniano do sistema. Neste Princípio da Mínima Ação generalizado, as equações de movimento são obtidas a partir da equação de Euler-Lagrange e, tomando-se o limite indo à zero para o intervalo de tempo definindo a Ação. Finalmente, como exemplo de aplicação, formulamos pela primeira vez uma Lagrangiana física para o problema da carga pontual acelerada.

In this work we generalize the Action Principle formulated by Riewe for nonconservative systems containing linear dissipative forces depending on time derivatives of arbitrary order. The generalized Action is contructed by Lagrangian functions depending on integer and fractional derivatives. Different from other approaches, the use of fractional derivatives enable us to formulate physical Lagrangians for nonconservative systems. A Lagrangian is said to be physical if it provides physically consistent relations for the system’s momentum and Hamiltonian. In this generalized Action Principle, the equations of motion are obtained from the Euler-Lagrange equation, and by taking the limit to zero for the time interval defining the Action. Finally, as an example of application, we formulate for the first time a physical Lagrangian for the acelerated point charge.