Definição do coeficiente de difusão para propagação de poluentes em águas rasas empregando um modelo baseado em soluções exatas para a equação de Korteweg-De-Vries

Abstract

A dispersão de poluentes no meio aquático decorre dos processos de advecção e difusão, cuja propagação se produz no sentido longitudinal e transversal ao escoamento do corpo hídrico. A contribuição associada ao processo difusivo, regido pela lei de Fick, é proporcional ao coeficiente de difusão, cujo valor deve ser estimado. Neste trabalho é obtida uma solução analítica para a equação de Korteweg-de-Vries (KdV) a fim de avaliar o coeficiente de difusão baseado na ação de ondas de gravidade em corpos hídricos. O método proposto consiste na transformação da equação KdV em sua forma original em uma equação diferencial ordinária cuja solução é obtida através de integração. Quando uma onda solitária ou um trem de ondas é produzido na superfície de um rio, uma determinada quantidade de água é transferida a partir das vizinhanças, transportando poluentes por advecção. Contudo, uma vez que as oscilações são alternantes ao longo do corpo hídrico, e o comprimento de onda típico das vagas é muito inferior à distância entre margens, esse processo de advecção pode ser considerado um mecanismo de difusão isotrópica, quando observado em escala geográfica. Desse modo, a difusividade mássica pode ser estimada a partir de valores locais para o laplaciano e a derivada temporal da concentração, obtidos através de um balanço de massa efetuado em torno da onda solitária. Ao final, são apresentados resultados numéricos para a situação do Lago Guaíba, em Porto Alegre.

Pollutant dispersion in rivers occurs as a consequence of diffusion and advection both transversal and longitudinal dretions of the flow. The contribution related to the diffusion process, ruled by Fick´s law, is proportional to diffusion coefficient, which must be estimated. In this work a new analytical solution to the Korteweg-de-Vries equation is obtained, in order to evaluate the increase in the mass diffusivity due to the action of gravity waves along water bodies. The proposed method consists in mapping the original KdV equation into an ordinary differential one whose solution is obtained by integration. When a soliton or a wave packet is produced on the surface, a certain amount of water is transferred from the neighborhoods, carrying the pollutants by means of advection transport. However, since the oscillations are alternant along the water body, and the typical wavelength of the packets is much smaller than the distance between margins, this advection process can be regarded as an isotropic diffusion mechanism, when observed at a geographic scale. Hence, the mass diffusivity due to the gravity waves can be estimated from the local values for the laplacian and the time derivative of the concentration distribution, obtained through a mass balance in a region around the soliton. Numerical solutions are presented.