Modelagem do ritmo circadiano com derivadas de ordem fracionária: modelo de fase e modelo PIM

Abstract

Nesta tese estudamos a existência de soluções analíticas sincronizadas para o modelo de osciladores acoplados em fase, proposto por Strogatz [50], para os ritmos biológicos de sono-vigília e temperatura corporal, com generalizações em duas direções. Na primeira, introduzimos as derivadas de ordem fracionaria para verificarmos a influência da memória é denominamos de Modelo de Fase Fracionário. Na segunda direção, incorporamos mais um oscilador, que representa a dor, na dinâmica do problema e denominamos este Modelo de PIM (pain influenced model). Para ambos os modelos, a boa-colocação do problema de valor inicial associado e demonstrada. Além disso, obtivemos as soluções analíticas sincronizadas, dos dois modelos propostos, sempre que a dinâmica fracionária adotada seja a mesma para todos os osciladores. No caso de dinâmicas com ordens fracionárias distintas, mostramos a existência de limitantes superiores e inferiores, para quaisquer que sejam as soluções sincronizadas dos modelos estudados, em termos das forças de acoplamento e das frequências intrínsecas do modelo. Estes resultados, em particular, implicam na derivação de relações explícitas, para as soluções sincronizadas do modelo, em termos das forças de acoplamento e das diferenças de fase dos osciladores estudados (conhecidas como restrições de Winfree). Esta caracterização permite uma simples escolha dos parâmetros para as simulações numéricas apresentadas, as quais descrevem os resultados teóricos obtidos. Tanto os resultados teóricos quanto os numéricos apresentados nesta tese são motivados pela análise de dados reais de pacientes submetidos a procedimentos cirúrgicos, disponibilizados por um grupo de pesquisa da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Ambos resultados colaboram para a conjectura de que a existência de memoria reforça a sincronização do ritmo circadiano. A sincronização, por sua vez, implica em menor perturbação de influências externas (como a dor) na ritmicidade.In this thesis we study the existence of synchronized analytical solutions for the phase coupled oscillator model proposed by Strogatz [50] for the sleep-wake biological rhythms and body temperature, with generalizations in two directions. In the first one, we introduce fractional order derivatives to verify the influence of memory and call it the Fractional Phase Model. In the second direction, we incorporated another oscillator, which represents pain, into the dynamics of the problem and called it the PIM (Pain Influenced Model) model. For both models, the well-posedness of the associated initial value prob- lem is demonstrated. Furthermore, we obtained the synchronized analytical solutions of the two proposed models, whenever the fractional dynamics adopted is the same for all oscillators. In the case of dynamics with distinct fractional orders, we show the existence of upper and lower limits, for whatever the synchronized solutions of the studied models, in terms of the coupling forces and the intrinsic frequencies of the model. These results, in particular, imply the derivation of explicit relations, for the synchronized solutions of the model, in terms of the coupling forces and phase differences of the studied oscil- lators (known as Winfree constraints). This characterization allows a simple choice of parameters for the numerical simulations presented, which describe the theoretical results obtained. The theoretical and numerical results presented in this thesis are motivated by the analysis of real data from patients undergoing surgical procedures, made available by a research group from the Federal University of Rio Grande do Sul. Both results contribute to the conjecture that the existence of memory increases circadian rhythm synchronization. Synchronization, in turn, implies less disturbance of external influences (such as pain) in the rhythmicity.